giovedì 31 gennaio 2013

La ics

Mentre stavo mettendo in ordine le bozze di un articolo, il mio cervello ha avuto un attimo di smarrimento di fronte ad una lettera dell'alfabeto. Sembra una sciocchezza, ma deve esserci un significato recondito. Allora, vi spiego: facciamo finta che nel mio manoscritto ci fosse l'equazione $$-\Delta u + V(y)u=f(u),$$ dove $\Delta$ è l'operatore di Laplace e $V\colon \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}$ è un potenziale. Ecco, quando ho (ri)letto questa formula, la mia mente ha istantaneamente inviato un impulso alle mie dita sulla tastiera: "hai sbagliato, dovevi scrivere $V(x)$!" In pratica, il mio cervello voleva leggere $$-\Delta u + V(x)u=f(u).$$
Qualche pignolo potrebbe alzare il ditino e ammonirmi: sarebbe stato meglio scrivere $$-\Delta u + Vu=f(u).$$ D'accordo, quella $y$ è una variabile muta, ma nel contesto c'era un perché. Il punto invece è: perché la $x$ ci piace e la $y$ ci sembra subito un errore di battitura?

La risposta non ha effettivamente alcun senso logico. Semplicemente, fin dalla scuola media siamo abituati ad usare $x$ come lettera universale per indicare incognite o variabili. Se ce ne serve un'altra, scriviamo $y$, ma assai raramente usiamo subito $y$. Pensateci: avete mai avuto un professore che vi abbia spiegato le equazioni polinomiali di secondo grado scrivendo $$az^2 +bz +c=0?$$ Immagino di no. Ma se avete continuato gli studi di matematica, sono certo che almeno uno dei vostri libri di testo ammoniva che è profondamente sbagliato usare la frase
Sia $f(x)$ una funzione...

Qualche Autore Ardimentoso suggerisce notazioni quali $f(\cdot)$ o $f(\#)$, per indicare la presenza di una variabile indipendente. Interessante, vero? Peccato però che non sembra esserci una sostanziale differenza fra $\#$ e $x$, in quanto simboli.
Io non sono più così giovane (se non in relazione alla scala di età dei mass media), e faccio matematica da più di un decennio. Eppure ho ancora il riflesso inconscio di privilegiare la $x$ ad ogni altra lettera dell'alfabeto.

martedì 29 gennaio 2013

Recensione: Ritorno a Bassavilla

Questa volta vi parlo di un libretto acquistato per caso, sull'onda di alcune recensioni lette in Rete.



Ritorno a Bassavilla è uno strano prodotto di Danilo Arona. Idealmente sarebbe il seguito dell'ormai introvabile Cronache di Bassavilla, apparso nel 2006 e presto scomparso dai cataloghi. Bassavilla è un nomignolo per la città di Alessandria, descritta come un ricettacolo di misteri. Ma Bassavilla è tutta la regione che dalla Liguria sale fino ad Asti, con le sue campagne brumose e i suoi abitanti scontrosi.
All'inizio ero abbastanza scettico, ma ho dovuto ricredermi presto. Il libro è piacevole, e alterna racconti spiritosi a racconti di cronaca nera, conditi con una sana dose di leggenda metropolitana. Qualche storia mette un profondo senso di tristezza, come quella del ragazzo che, morto in un incidente di motocicletta, non si rassegna a frequentare il suo appartamento. D'accordo, nessuno pretende che ci crediamo: ma è pur sempre letteratura, vero?
La scrittura di Arona è scorrevole e talvolta troppo colloquiale, quasi una trascrizione radiofonica. Come detto, nessuna pretesa di verosimiglianza, ma questo piccolo libro regalerà alcune ore di svago agli appassionati di leggende metropolitane. Suggerisco, per restare in tema, l'ormai classico Il bambino è servito, di Cesare Bermani.

sabato 26 gennaio 2013

Libreria Vaghi

Ieri ho ordinato tre libri di matematica. Non mi capitava da tempo, perché la ricerca si fa prevalentemente sulle riviste scientifiche, mentre i libri sono soprattutto di riferimento. Li ho ordinati sul sito della più grande libreria online mondiale, e nel giro di pochi giorni li riceverò comodamente in dipartimento. Ma non è sempre stato così.

Fin dagli anni del liceo, sono stato un accanito compratore di libri professionali: accumulavo grammatiche latine, le opere con testo a fronte dei classici, i dizionari di inglese, i manuali di matematica. Passato all'università, cercavo libri scientifici sempre più avanzati, ed ero fiero della mia piccola biblioteca essenziale di matematica. Il primo problema da risolvere è stato quello più concreto: dove comperare questi testi? Sono nato e cresciuto in una città di provincia, con poche librerie votate ai volumi che scalano le classifiche. Il primo libro di matematica "da grandi" l'ho ordinato alla libreria dell'infesciato (è l'italianizzazione dell'aggettivo dialettale infesciaa, che significa essenzialmente imbranato, impedito), che per cinque anni mi aveva procurato i testi liceali. Ricordo di aver aspettato circa sette mesi, confermandomi che il proprietario era davvero infesciato. Doveva esserci una soluzione migliore.

Un giorno, prendendo in prestito un manuale nella piccola biblioteca universitaria del polo di Como, notai un cartellino giallo appiccicato alla terza di copertina: era la pubblicità della libreria commissionaria Vaghi di Milano, in via Teodosio. Non sapevo nemmeno che esistessero librerie prive di scaffali, unicamente dedicate al commercio su ordinazione diretta. Telefonai per chiedere se potessi ordinare un libro che stavo cercando, edito da Springer. Nemmeno quella volta ebbi fortuna, perché il libro era fuori catalogo da tempo. I
o, con l'ingenuità dei vent'anni, telefonavo tutti i mesi al signor Vaghi e chiedevo notizie sul mio ordine; avrebbe potuto liquidarmi con poche parole, e invece mi diceva sempre che avrebbe cercato di recuperarne una copia in qualche modo. Alla fine, mi telefonò lui stesso, annunciandomi che Springer aveva ristampato il volume in una nuova collana di classici della matematica; il giorno successivo corsi a Milano a ritirarlo.

Dopo quella volta, ho acquistato dal signor Vaghi di via Teodisio qualche decina di testi, che costavano un occhio della testa e che richiedevano un rituale ormai dimenticato: io mandavo un fax con i dettagli dell'ordine, il signor Vaghi lo inoltrava alla casa editrice, attendeva la fattura, la pagava, e infine il libro veniva spedito per posta ordinaria. Mediamente, occorreva un mese per poterlo avere in mano. Eppure ero soddisfatto: il libraio era una persona squisita, sempre pronto ad aiutarmi con un libro di difficile reperibilità, stampato a Singapore o in Australia. Ogni libro era una mezza giornata di viaggio, da Cantù alla periferia nord-est di Milano, oltre naturalmente al prezzo di copertina; ma pazienza, sapevo di potermi fidare.

Nel mese di settembre del 1997, quando il mio relatore di tesi mi disse di studiare attentamente i Ginzbug-Landau vortices di Béthuel, Brezis e Hélein, edito da Birkhäuser, lo ordinai alla libreria Vaghi con una certa urgenza; invece di una risposta standard, mi assicurò che l'avrebbe pagato con la carta di credito della libreria, in modo da farmi avere il libro in un paio di settimane. 

L'estate successiva, ricordo che andai a ritirare un paio di volumi a metà di luglio, e ne approfittai per ordinarne un altro. Ero certo che sarebbe arrivato solo in settembre, ma il signor Vaghi disse che in agosto sarebbe venuto in città abbastanza spesso, perché doveva accompagnare in ospedale la moglie per un ciclo di cure. Aveva un aspetto sofferente, eppure si impegnava per accontentare un cliente privato come me, che certo non poteva essere una fonte di grandi profitti. Il libro non arrivò in agosto, e lo ritirai in settembre. Mentre pagavo il conto alla signorina che teneva la contabilità, entrò il signor Vaghi e mi disse: "Devo darle una notizia, non so se per lei sarà buona o cattiva. Ho deciso di chiudere l'attività e di tornare definitivamente a Firenze. Se ha bisogno di qualche volume, me lo dica ora, forse facciamo ancora in tempo."

Era una persona cordiale ma riservata, e si capiva che non era una scelta serena. Dopo un paio di mesi, cessò definitivamente l'attività, e io non ne seppi più nulla. Anzi, credo di non aver nemmeno mai saputo quale fosse il nome di battesimo del signor Vaghi, che per quasi cinque anni mi aveva aiutato nelle ricerche bibliografiche più complesse. 

A costo di sembrare banale, non ho mai trovato una libreria efficiente come quella. Il portafoglio dei clienti passò ad una grande libreria commissionaria proprio di Firenze, che il signor Vaghi mi raccomandò con queste parole: "Io lascerò tutti i miei clienti fidati a questa commissionaria. Le procureranno i libri, ma non so se si troverà bene." Restai un po' sorpreso per quella pubblicità così scettica, e alle prime esperienze con la nuova libreria capii perché: era impossibile creare un rapporto di fiducia, l'accesso agli uffici era proibito, e dovevo farmi spedire per posta i miei acquisti. Solo per la prima volta, in quanto ex cliente di Vaghi, il responsabile dell'ufficio di Milano mi concesse di ritirare i miei libri di persona. Sfoggiando il tipico sorriso mellifluo del piazzista di pentole, disse: "Allora, lo dica che siamo molto meglio di quelli di prima". Fu il mio primo e ultimo acquisto.

Per qualche tempo ho sperimentato tutte le librerie commissionarie del nord, per arrendermi infine alla dittatura del web. Certo, su internet si trova quasi tutto, basta saperlo cercare. Ma trovava quasi tutto anche il signor Vaghi, senza vantarsi troppo della propria abilità.

giovedì 24 gennaio 2013

Tessere e scontrini

Grazie alla mia munifica amministrazione, sono un possessore di abbonamento ferroviario Trenord annuale a prezzo agevolato. Per ragioni psicologiche che non desidero approfondire, ho iniziato ad utilizzare questo servizio un po' tardi, e adesso mi ritrovo a rinnovare l'abbonamento all'inizio di febbraio.

Come sempre, ho inviato la richiesta di rinnovo nel mese di novembre, perché mica possiamo ammazzarci di lavoro per stampare velocemente il vostro abbonamento, diamine! E questa volta, grandi novità: la tesserina cartacea è stata sostituita dalla fantasmagorica tessera dotata di chip, graziosamente adornata di disegni colorati. Ciusca, avrebbe esclamato mio nonno. Peccato però che spesso queste tessere si smagnetizzino (ué, un anno è lungo dodici mesi, eh!), e se non si smagnetizzano può essere che il controllore non sia dotato di lettore, e se è dotato di lettore magari ha le scatole girate e non si fida della teNnologia moderna. Ergo, "mi raccomando di fare qualche copia della ricevuta di pagamento, ché è stampata su carta del formaggio e si scolorisce in fretta", si raccomanda la solerte impiegata dell'amministrazione.

Io afferro con la delicatezza di un neo-papà la mia tessera con scontrino-formaggioso appiccicato, e mi fiondo alla più prossima macchina fotocopiatrice con il cuore in gola: avrò fatto abbastanza in fretta, o troverò già uno scontrino illeggibile? Davanti alla photocopieuse, metto da parte il braccino corto del canturino medio e faccio due copie e una scansione. Meglius abbundare che fare la figura del deficiens con il primo controllore inferocito.
Poi inserisco il tutto in una bustina trasparente impermeabile, ignifuga, anti-ruggine e perfino antisettica, che conserverò con l'amore di un padre per un figlio cagionevole.

Però la teNnologia è fantastica, vero? Ricordate com'era complicato, quando dovevate mostrare l'abbonamento a vista?

All inclusive: e la sauna non c'è?

Continuando a meditare sulle faccende didattico-pedagogiche (di cui ho parlato altrove, ma non ho voglia di mettere i link), trovo molto diffuso il disorientamento di fronte alle possibilità ramificate di insegnare un dato argomento. E altrettanto diffuso è lo stupore per la constatazione che non esiste il "ramo" ideale su cui arrampicarsi. Ecco, tranquilli: è la vita. Nella mia esperienza, ho spesso confrontato i due approcci classici alla teoria dei limiti per le funzioni: quello con $\varepsilon$ e $\delta$ e quello per successioni.
Statisticamente, il successo dell'uno o dell'altro approccio è paragonabile al lancio di una moneta perfetta, e cioè assolutamente casuale. Un anno i miei studenti assimilavano piuttosto bene le successioni, un altro le detestavano. Immagino che non esista una spiegazione razionale, né che valga la pena di cercarla. D'altronde, la composizione di qualunque classe è già intrinsecamente (pseudo-)aleatoria, e conviene farsene una ragione.

Certo, poi conviene dire subito che c'è un evidente competizione fra l'aspetto che chiameremmo umano dell'insegnamento e quello prettamente tecnico. Infatti, se l'insegnamente elementare/primario deve concentrarsi tantissimo sulla crescita umana dei propri allievi, un docente di dottorato può - entro certi limiti - permettersi di dire "se non capite questo, non posso farci proprio niente." La parola-chiave è inclusione.

Per ragioni evidenti e anche costituzionali, le scuole primarie e comunque dell'obbligo sono inclusive: l'insegnante non cerca di tenere alto l'estremo superiore, bensì l'estremo inferiore della propria classe. Detto altrimenti, non cerca di coltivare le menti brillanti, ma cerca di portare tutti ad un livello sufficiente.
Al contrario, nell'università ed oltre bisognerebbe forse dare maggior peso all'estremo superiore, per sfuggire all'appiattimento della qualità dei corsi e dei laureati. Certo, qui dovremmo discutere della volontà politica di innalzare il numero aritmetico dei laureati, e apriremmo un vaso di Pandora. Che ci crediate o no, non sono un sostenitore sfegatato della laurea-per-tutti, se il prezzo da pagare deve essere quello di una massa di laureati di livello mediocre. Ma lasciamo stare.

Uno dei punti che meritano invece qualche riga è proprio la posizione della scuola media superiore. Negli ultimi anni ho maturato la convinzione che... in Italia non abbiamo ancora deciso quale sia la funzione dell'insegnamento medio superiore. Ancora negli anni '80 del secolo scorso, c'erano professori delle medie inferiori che non si facevano scrupolo di stroncare la carriera ai propri allievi con frasi come "Faresti meglio ad iscriverti ad un istituto professionale, o forse a cercarti un lavoro manuale." Costoro si erano formati in una società molto più povera e classista (ma non lo è anche quella attuale?), e i figli del popolo potevano proseguire gli studi solo se davvero eccellenti. Le successive generazioni di insegnanti hanno imparato un po' di tatto, anche per assecondare le giuste ambizioni delle famiglie che sognavano il pezzo di carta per i figli. La conseguenza è stata una scolarizzazione media superiore quasi capillare, almeno in certe regioni geografiche. Siccome però è piuttosto probabile che, all'aumentare del numero di iscritti, aumenti anche il numero di iscritti non particolarmente amanti dello studio, la politica non ha saputo delineare una strategia efficace. Meglio una scuola alla portata di tutti, cioè all inclusive, oppure una scuola selettiva?

Di fronte a questo dilemma irrisolto, gli insegnanti hanno fatto quello che spesso facciamo noi italiani: si sono arrangiati come meglio potevano. Il risultato, forse prevedibile, è una statificazione invece imprevedibile della qualità dei diplomati. Dallo stesso istituto escono diplomati carichi di conoscenze e di cultura, ed altri drammaticamente poveri di idee e strumenti. Sotto una certa soglia, questo è normale; oltre quella soglia, il comportamento caotico genera instabilità sul resto della filiera scolastica, cioè l'università.

È ormai impossibile prevedere se un diplomato di liceo scientifico conosca le formule di prostaferesi o il metodo di integrazione per parti, poiché taluni insegnanti allungano e accorciano i famigerati programmi a proprio piacimento. Mi è stato detto che, nello stesso liceo, una classe di quinta arriva fino agli integrali impropri, mentre un'altra si ferma allo studio di funzione, e senza la convessità. A quel punto io, che idealmente dovrei raccogliere il testimone e insegnare una matematica leggermente più astratta e generale, devo decidere se recuperare gli studenti meno preparati (perdendo l'interesse di quelli preparati) oppure se ottimizzare la preparazione di quelli con basi solide (perdendo per strada una bella percentuale degli altri).

Non chiedo, né potrei farlo, di uniformare gli insegnanti. Ma sarebbe auspicabile che la scuola media superiore si desse uno statuto solido: prolungamento della scuola dell'obbligo, oppure avviamento all'università?

domenica 20 gennaio 2013

Is New Math actually Old Math?

La mia recente esposizione alle problematiche dell'insegnamento agli insegnanti mi ha spinto a documentarmi su alcune questioni didattiche. Ieri, per esempio, ho letto alcuni articoli sull'insegnamento della trigonometria. Ovviamente conosco la trigonometria piana, l'ho studiata per taaaaanti mesi in quarta liceo, e uso quotidianamente seni, coseni e tangenti (niente battutacce, per favore). Ma confesso che non ricordo più come io stesso sia stato introdotto alla trigonometria.
A livello elementare, ci sono due approcci (evidentemente equivalenti, va da sé) alle funzioni goniometriche: quello mediante la geometria dei triangoli rettangoli, e quella mediante la geometria dei trian…. ops, scusate: volevo dire quella mediante il punto mobile sulla circonferenza unitaria.
Entrambi hanno vantaggi e svantaggi, ma non è questa la sede per discuterne. Il punto è: quale approccio mi è stato mostrato, quando ero studente? Francamente non mi ricordo affatto.

"So' probblemi", direbbe qualcuno. Ovviamente non per me, ma per un aspirante insegnante di scuola sì. A voler essere un po' nichilisti, quello che uno scienziato usa concretamente, della trigonometria, è solo l'esistenza di alcune funzioni che soddisfano alcune (poche) regole caratterizzanti. E, a dispetto della banalità dell'affermazione, siamo già arrivati alla definizione delle funzioni goniometriche che si leggono nei testi di ispirazione vagamente bourbakista (in Italia, un nitido esempio di questa trattazione appare nel testo di Analisi Matematica di Giovanni Prodi, edito da Bollati Boringhieri). Secondo questa scuola di pensiero, seno e coseno sono le uniche due funzioni continue che realizzano un certo omeomorfismo ecc. ecc. Il numero $\pi$ è semplicemente il più piccolo numero positivo che annulla la funzione seno. 

Certo però che qualunque insegnante di scuola preferirebbe un attacco di gastroenterite alla prospettiva di insegnare la trigonometria in questo modo, giusto? Ve li immaginate i sedicenni che usano la compattezza dell'insieme $S^1 \subset \mathbb{R}^2$ per definire PI Greco? Forse in un film dell'orrore...

E questo ci porta alla lungamente dibattuta storia del progetto New Math. Se siete curiosi, cliccate sul link precedente. In breve, questo progetto fu sviluppato negli Stati Uniti nel decennio 1960, con lo scopo di riformare l'insegnamento della matematica nelle scuole e di sviluppare le capacità matematiche della popolazione. C'era sotto la solita, trita, Guerra Fredda, ovviamente, che poi era molto spesso invidia penis
Comunque, fu una cocente sconfitta: i libri di testo scritti da matematici professionisti vennero presto dimenticati, e tornarono in auge i manuali scritti da oscuri insegnanti, sovente privi di una cultura specialistica ma carichi di esperienza didattica.

Ralph A. Raimi propone alcuni commenti molto interessanti in un articolo disponibile sulla sua pagina web. Molto gustosi sono i paragoni fra il fallimento della New Math e quello del marxismo, sebbene un po' banali.

Io sono totalmente inesperto di questioni didattiche, epa mia naturale tendenza all'astrazione e all'opera di cesello di sapore bourbakista non fa di me la persona migliore per insegnare a livello scolastico. Quello che invece posso affermare è che, o di riffa o di raffa, la matematica cosiddetta elementare deve essere insegnata. Pare che, dopo decenni di torture trigonometriche per quasi l'intero quarto anno di liceo, adesso la trigonometria sia stata relegata nell'angolo delle nozioni superflue. Forse un pedagogista potrà argomentare dottamente sulle opportunità di questa scelta, ma io, che poi mi ritrovo gli stessi giovani sui banchi dell'università, scopro che costoro ignorano le formule di prostaferesi e di Werner, non comprendono le sostituzioni razionalizzanti per il calcolo degli integrali perché non hanno mai visto le espressioni di $\sin x$ e $\cos x$ in funzione di $t=\tan \frac{x}{2}$.

A quel punto, che fare? Lascio stare o lavoro il doppio? Riconosco che la scuola italiana ha buttato l'acqua con il bambino sporco (storpiatura assai efficace di un noto proverbio, coniata da un mio amico) e accorcio il programma, oppure mi impicco per dire tutto e colmare le lacune? E poi: perché l'evoluzione della didattica italiana marcia sempre nella direzione dell'ignoranza rispetto al passato? Mio nonno, a ottant'anni, aveva nozioni di storia apprese nella scuola elementare di Cunardo (dal mitico maestro Magadini, con una mano sola che usava per tirare bacchettate) fra il 1919 e il 1925 che mi lasciavano a bocca aperta. Oggi bisogna alleggerire, gli zaini certamente e le menti probabilmente.

Da tutte queste letture ho capito poche cose, ma credo significative. La più importante è che il mestiere d'insegnante è tanto difficile perché serve fingere di avere una mente che non abbiamo più. Serve regredire all'età dei propri studenti, e parlare loro secondo ragionamenti che abbiamo rimpiazzato con percorsi mentali avanzati: le famose matematiche elementari da un punto di vista superiore.
Un'altra cosa è che la padronanza e finanche la maestria in una disciplina non implicano la capacità di trasmettere le conoscenze, cioè di insegnarle. Ho avuto insegnanti indiscutibilmente preparati, magari anche abituati a lavorare all'università come docenti a contratto, che proprio non sapevano spiegare a livello scolastico. Io probabilmente sarei come loro, e non ho problemi ad ammettere la mia debolezza. Come diceva Freud, tutto risale all'infanzia: essermi innamorato della matematica dopo i sedici anni mi ha obbligato a ricostruire quasi da autodidatta le nozioni più elementari di aritmetica e geometria. Ma ormai ero rovinato: quando ti dicono che $$e^{i\theta} =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(i\theta)^n}{n!},$$ è troppo tardi per le definizioni "scolastiche" di seno e coseno. Anche facendo uno sforzo, non si capisce perché sprecare il proprio tempo a definire male e faticosamente quello che le matematiche superiori definiscono elegantemente. 
Il trauma infantile si è compiuto, e non si guarisce più. 

giovedì 17 gennaio 2013

Sulle strisce pedonali

Dialogo fra un pedone e un automobilista, dopo un tentato omicidio sulle strisce zebrate.

Pedone: -Ma razza di deficiente, non ha visto che stavo attraversando?
Automobilista: -Sì, ma non credevo che volesse davvero attraversare...
Pedone: -Potrebbe anche andare più adagio, siamo in città!
Automobilista: -Sono in ritardo, devo essere in centro fra dieci minuti.
Pedone: -Non può uscire di casa prima, così non uccide nessuno?
Automobilista: -Io ho una vita, sa! Non posso sprecarla in automobile!
Pedone: -E allora cerchi casa vicino al centro, no?
Automobilista: -Ma è matto? E' così bello vivere in campagna!
Pedone: -E allora vaff@#"#][ !

lunedì 14 gennaio 2013

Didattica? Meno uno!

Anche per quest'anno, il mio corso di matematica per biotecnologia è finito. Mi sono preso il solito applauso finale che non so se sia ironico o sincero o tutti i e due, e in bocca al lupo ai miei studenti.

Un bilancio? Non saprei. Ogni anno, d'estate, cerco di migliorare il mio modo di spiegare, di affinare il programma, di scegliere il libro più adatto. Ma alla fine ho la sensazione che tutto resti sempre uguale, a partire da me. Penso di essere un docente vagamente confuso, per la mia pessima abitudine di voler spiegare che la matematica non è mai definitiva, che c'è sempre un punto di vista più avanzato su ogni idea.
Molte matricole restano sconcertate, perché vorrebbero un insegnamento più autoritario e definitivo: questo è così e basta. Io ci ho provato, ma non riesco proprio a "mentire": credo fortemente che la matematica sia utile quando fa riflettere e incoraggia la sperimentazione di nuovi percorsi mentali; per i calcoli, hanno già inventato le calcolatrici.

Per questo non so definirmi soddisfatto o insoddisfatto per quanto ho fatto negli ultimi mesi. E poi è facile sentirsi sicuri di aver spiegato bene, salvo scoprire che gli studenti ti avrebbero volentieri cavato gli occhi per la rabbia. Quel che posso dire è che mi sono impegnato e, diceva il vecchio Frank, I did it my way

Adesso si volta pagina: fra poco più di un mese inizierà il corso di Analisi Non Lineare per matematici magistrali, e sarà un'esperienza completamente differente. 

sabato 12 gennaio 2013

Effe di effe (di x)

Tanti anni fa, il mio professore di italiano Giovanni Moscatelli mi ha insegnato che nessun testo dovrebbe cominciare dando per assodato che il lettore ci conosca. E così sia.

Dunque: fra l'altro (non molto altro) insegno. Insegnare è difficile e spesso frustrante: 

Chi sa fa, chi non sa insegna.

Ma può dare molte soddisfazioni:

Oggi non sarei qui, se non fosse per il mio maestro X Y.

Insegnare è come una funzione $f(\cdot)$, il cui argomento $x$ è più o meno qualunque cosa: insegnare matematica, insegnare una lingua straniera, insegnare un ballo latino-americano, insegnare l'arte della manutenzione della bicicletta. Ma, fatto un po' meno scontato, l'argomento di $f(\cdot)$ può essere anche $f$ stessa: va tanto di moda insegnare ad insegnare. Ma è davvero possibile?

Alzi la mano chi, diventato insegnante, non si è lasciato guidare dai ricordi dei propri insegnanti. Certo, con il tempo e con l'esperienza, ogni insegnante sviluppa un proprio metodo di insegnamento. Io ho avuto, per esempio, due tipologie di insegnanti di matematica: quella tradizionale, cattedratica e pedagogicamente autoritaria, e quello costruttivista. La prima spiegava la teoria e ci imponeva di studiarla e di applicarla agli esercizi; il secondo chiamava alla lavagna uno di noi e lo usava come intermediario ermeneutico, inducendolo a scoprire (quasi) da sé la teoria. La prima era rassicurante (soprattutto per i genitori abitudine&tradizione, non per me), il secondo era destabilizzante (ma non per me).

Ma esiste il bravo insegnante? A me viene sempre in mente il personaggio del bravo presentatore, che Nino Frassica interpretava nel programma di Renzo Arbore Indietro tutta. Secondo me, non c'è. Un insegnante è bravo per alcuni e non per altri, in un contesto ma non in un altro. Penso che sia comunque un'opinione abbastanza condivisibile, dettata dalla sperimentazione della realtà.

E allora perché, da un decennio circa, sono tanto di moda i corsi (SISS, SILSIS, TFA) per formare gli aspiranti insegnanti? Io non lo so, mi sento molto vicino alla mentalità artigiana della mia Brianza: non si diventa un falegname in gamba sui libri, ma in bottega. È chiaro che bisogna studiare, ma più ancora bisogna sperimentare in prima persona.

Questo non è in contrasto, almeno non immediatamente, con i corsi formativi di livello universitario. Ma il contrasto diventa stridente quando qualcuno, solitamente privo di ogni buon senso pedagogico, afferma che

Vi insegneremo ad insegnare.

Mai frase è stata più pericolosa! Una frase ad effetto che riempie di aspettative l'allievo, e vanifica gli sforzi di chi docet. Sì, perché l'allievo si mette comodo (si fa per dire) fra i banchi, e vuole essere nutrito con il cibo della sapienza: vuole uscire dall'aula con i crismi del bravo insegnante. Al contempo, giacché il suo docente non potrà mai soddisfare questi sogni infantili, l'allievo resterà deluso e  frustrato. 

Io penso che insegnare ad insegnare sia un fine irraggiungibile, mentre insegnare ad essere critici sia un obiettivo a portata di mano. Se non esiste il modo giusto per spiegare le proprietà delle potenze ad un quindicenne, è senz'altro possibile - per l'insegnante - mettere a confronto le alternative, ragionarci sopra e infine sperimentare sul campo. In prima persona, avete capito bene.

Dice:

Quindi il mio bambino deve fare da cavia a questo insegnante inesperto?!

Ancora una volta, sì. È la vita: ogni giorno entriamo in relazione con altre persone, alcune delle quali esperte ed altre inesperte. È possibile, ed anche doveroso, affiancare all'inesperto un collega esperto (non è questo il vero tirocinio?), ma arriva sempre il giorno del primo intervento per il chirurgo, della prima lezione per l'insegnante, del primo volo per il pilota. Da soli, con piena responsabilità.

sabato 5 gennaio 2013

Funzioni elementari, Watson

Riporto di seguito un mio intervento nel forum per il TFA delle classi A047 e A049. Si parlava di funzioni elementari e proprietà delle potenze, ma la discussione si è presto allargata fino ad abbracciare questioni di respiro più generale. Ad esempio, l'approccio a queste funzioni dal punto di vista dell'insegnante, e infine l'opportunità di esporre idee moderne ma obiettivamente avanzate agli studenti secondari.
 
[…]La questione delle (cosiddette) funzioni elementari è una delle dolenti note di qualunque docente. A livello universitario, sembrano esserci due scuole di pensiero: (a) quella dei docenti che non introducono le funzioni elementari, sostenendo che la scuola dovrebbe (almeno) insegnare questo; (b) quella dei docenti che parlano delle funzioni elementari secondo tradizione, appoggiandosi cioè all'intuizione geometrica per seni e coseni, e al buon senso algebrico per esponenziali e logaritmi.
I docenti di tipo (a) hanno ottime ragioni: non si può ripartire da Adamo ed Eva ogni volta. Una matricola deve essere in grado, nel malaugurato caso che ne avesse bisogno, di studiare autonomamente l'equazione della retta nel piano e le proprietà fondamentali dei logaritmi.
I docenti di tipo (b) compiono un'opera meritoria, ma si precludono forse l'opportunità di introdurre rigorosamente queste funzioni.
 
Che significa, nel nostro contesto, l'avverbio rigorosamente? Qual è la definizione rigorosa della funzione esponenziale? 
 
Negli anni ho utilizzato vari manuali di calcolo differenziale ed integrale, constatando un'inquietante tendenza a tacere la costruzione, o almeno la definizione assiomatica, di $\mathbb{R}$. Molti decenni fa, Walter Rudin affermava, nella prefazione ai Principi di analisi matematica, che gli studenti non sentono affatto l'esigenza di costruire $\mathbb{R}$, essendo già capaci di operare con i numeri reali. Questa affermazione, seppur calata nel contesto dell'accademia statunitense degli anni '50, mi ha sempre colpito: perché è vera. Ma ha risvolti un po' estremi: volendo essere consequenziali allo spasimo, occorre riconoscere l'essenziale impossibilità di fare esempi che coinvolgano potenze (ad esponente non intero), esponenziali, logaritmi e funzioni goniometriche. Così fa Rudin, che riesce ad esporre tutta l'analisi matematica di base senza mai parlare delle funzioni elementari (se non, scusandosi, in un controesempio).
Conosco un professore del Politecnico di Bari che insegna le funzioni elementari partendo dal logaritmo come integrale definito e dall'identità $$\arctan x = \int_0^x \frac{dx}{x^2+1}.$$ Non ho mai avuto, tuttavia, il privilegio di chiedere ad un suo allievo se fosse chiara l'esigenza stringente di essere così radicali.
Se tutto ciò crea dilemmi ai docenti universitari, tanti più ne deve creare agli insegnanti di scuola superiore, dove è evidentemente improponibile di arrivare al mese di maggio del quinto anno per dire che cosa sia $\log x$. Il mio sommesso consiglio è semplicemente quello di non insegnare cose false. Ad esempio, meglio forse concentrarsi sui classici radicali, piuttosto che partire entusiasticamente per i lidi delle potenze reali ad esponente reale. Uno studente che padroneggi il senso di una scrittura come $\sqrt[n]{x}$ potrà, nel caso, sforzarsi di capire il senso di $3^\pi$; al contrario, maneggiare con leggerezza le proprietà delle potenze rischia di condurlo a forti delusioni.
 
Infine, osservo che ricorre frequentemente il tema che potremmo sintetizzare in una battuta: perché dovrei parlare di queste cose avanzate, se i miei ragazzi credono che $10^{-1}$ sia un numero negativo?
Parlando con amici insegnanti, ho riscontrato spesso questo sconforto, e altrettanto spesso ho ripensato ai miei anni da studente liceale. Non so perché avevo amici, iscritti ad istituti professionali, che a 19 anni sapevano risolvere equazioni differenziali del secondo ordine, mentre adesso sembra un'eresia perfino la spiegazione della convessità. Probabilmente c'è un discorso sociologico abbastanza profondo, che non riesco a fare per mancanza di titoli. Ma non vorrei che ci fosse anche, da parte degli insegnanti, il timore di apparire troppo esigenti. A tutti noi spiace che un nostro studente ottenga pessimi voti, ma forse dovremmo scrollarci di dosso l'ossessione che sia sempre colpa nostra.

giovedì 3 gennaio 2013

Forum

Fra ieri e oggi ho frequentato il forum di un corso di TFA (Tirocinio Formativo Attivo, quell'aggeggio a pagamento che le eccelse menti ministeriali hanno imposto agli aspiranti insegnati) del mio ateneo, e mi ci sono appassionato. Ovviamente l'ho fatto per ragioni professionali, dovendo collaborare ad un laboratorio; ma ero anche spinto da una notevole curiosità. E le aspettative non sono state tradite.

Gli interventi, ancora un po' timidi per la notevole giovinezza del progetto partito a metà di dicembre, a volte sono un po' sconsolanti. Ad esempio, uno studente muoveva dalla formula $x^{a/b}=(x^a)^{\frac{1}{b}}$ per dedurre che $-1=(-1)^1 = (-1)^{\frac{2}{2}}=((-1)^2)^{\frac{1}{2}}=1$. Ci sarebbe da rodersi il fegato, trattandosi di laureati in matematica o fisica, in parte già in servizio come docenti precari; qui mancano le basi, anche se è concesso il beneficio del dubbio.

Altri temi mi sono sembrati di ben altro livello. Per esempio, dopo aver assistito ad una lezione sul prodotto scalare, alcuni si sono detti affascinati dall'impostazione assiomatica (spazi di Hilbert, ecc. ecc.) ma alquanto scettici sull'opportunità di essere così teorici in aula. Costoro si domandavano, forse un po' polemicamente: "Come si fa ad insegnare così, se già i miei ragazzi chiedono perché studiare le espressioni letterali? A che cosa servono queste cose, ad un giovane di quindici anni?" Queste battute mi hanno fatto riflettere, perché sono le stesse domande che tante volte mi sono posto (ma che non mi hanno posto le mie matricole di biotecnologie, fornendo un ulteriore spunto di riflessione) prima di tenere un corso di matematica. La mia sensazione è che ci sia una frattura profondissima fra l'insegnamento scolastico e quello accademico. Chi insegna all'università crede (spesso sbagliandosi, ahimè!) di aver di fronte una platea di piccoli geni ai quali snocciolare le più raffinate nozioni avanzate. Viceversa, chi insegna in una scuola parte dal presupposto (spesso sbagliandosi altrettanto) di aver di fronte una classe di futuri delinquenti, disinteressati a tutto e destinati ad un futuro di ignoranza e degrado. Questo spinge ad impostare livelli molto bassi nell'insegnamento scolastico, e obiettivamente un po' troppo alti all'inizio dell'università. 

Inoltre, molti docenti universitari (me compreso) faticano drammaticamente a creare interesse per la propria materia. È un peccato umano e prevedibile: un cultore della materia non sente più il bisogno di farsela piacere, altrimenti non ne sarebbe un cultore. D'altronde, come chiedere ad un innamorato di giustificare razionalmente l'utilità di amare? Io stesso non sono assolutamente capace di spiegare perché l'analisi matematica sia importante nella vita di un biologo, e forse posso perfino dubitarne. Immagino che sia ancora peggio dover convincere un adolescente brufoloso che la trigonometria è un'esigenza primaria per tutte le persone colte. Crescendo, e partendo da un'esperienza personale estremamente problematica nei confronti della matematica, ho sviluppato una filosofia nichilista: è sostanzialmente impossibile far nascere l'amore per una disciplina; è invece possibile coltivare e sviluppare la fascinazione per la stessa disciplina. Nel mio caso, nessuno dei molteplici professori di storia è mai riuscito a farmi piacere lo studio della storia. Per carità, sono consapevole che sia fondamentale conoscere un certo tot di storia, ma non chiedetemi di affermare che lo studio della storia sia piacevole. Non c'è ragione per cui la parola storia non possa essere sostituita da matematica o chimica, naturalmente.

Un altro tema molto sentito dai futuri insegnanti è quello del rapporto con le nuove tecnologie. Gli ultimi vent'anni hanno portato ad un allontanamento drammatico fra la generazione degli insegnanti e quella dei studenti. Nel 1980, quando sono stato iscritto alla prima classe elementare, la mia maestra era giovane, nemmeno trentenne. Ma, in prima approssimazione, il gap culturale fra lei e me era lo stesso che c'era fra la maestra di mia mamma e mia mamma. D'accordo, la mia maestra è nata quando la televisione non era ancora arrivata in Italia, mentre io potevo vedere le partite di calcio sul televisore a colori; ma erano quisquilie.

Oggi, invece, un insegnante nato nel 1980 si trova a confronto con ragazzini nati a metà degli anni '90, cioè ragazzini cresciuti a pane e videogiochi, che hanno preso in mano un telefono cellulare a sette anni e si sono connessi ad internet a dieci. Il povero insegnante, alla stessa età, caricava le cassette del Commodore 64 e chiamava gli amici dalle cabine a gettoni. Questo insegnante, se doveva fare una ricerca scolastica, usciva di casa e andava in biblioteca. I suoi studenti scaricano le tesine da internet (e non voglio giudicare quale dei due comportamenti sia più educativo e formativo), e vedono i grafici di funzione con un'applicazione dello smartphone (io dovevo scrivere un programma in Turbo Pascal, davanti ad un elaboratore Olivetti grande come un frigorifero da campeggio). Sono problemi, e nessuno può dire quanto sarà profondo il divario fra gli insegnanti nati oggi e i loro studenti nati nel 2030.

Leggere queste discussioni, benché spesso prive di conclusioni decisive, è un ottimo esercizio di confronto e di crescita. Fa sempre bene ricordare che insegnare non è solo inculcare nozioni.

martedì 1 gennaio 2013

Recensione: Mi ricordo di te

Ho appena finito di leggere Mi ricordo di te, di Yrsa Sigurdardóttir


L'ho acquistato con qualche riluttanza, perché questi thriller scandinavi si sono riversati sul mercato italiano come le cavallette bibliche. Questo, almeno, non è svedese, bensì islandese. La copertina, fra l'altro, è molto bella, ed è noto che questo è spesso un fattore determinante nella scelta di un libro.

La trama: è un buon esempio di storie parallele. Fin dall'inizio, i capitoli alternano rigorosamente due narrazioni apparentemente scollegate; la prima vicenda è quella di un uomo e due donne che si recano in un villaggio abbandonato per ristrutturare una casa. L'intenzione è quella di ricavarne una locanda, ma le donne manifestano immediatamente una forte avversione per i lavori. La seconda vicenda è quella di uno psichiatra, fresco di divorzio dopo aver perso misteriosamente l'unico figlio. Il bambino non è mai stato ritrovato, e dopo tre anni le ricerche si sono interrotte.
Ben presto tuttavia appare il primo elemento che avvicina le storie: la casa abbandonata sembra frequentata da un misterioso ragazzo, che l'autrice presenta come un elemento soprannaturale. Parallelamente, lo psichiatra è convinto di vedere suo figlio aggirarsi nei corridoi dell'ospedale, e la sua ex moglie gli riferisce di vederlo in sogno e di sentirlo parlare.

Le due trame si rincorrono con maestrìa, e l'autrice dimostra di saper giocare con le aspettative del lettore. È sempre attenta a chiudere ogni capitolo con un colpo di scena, e la scrittura è essenziale: naturalmente sarebbe interessante la consultazione del testo originale, senza nulla togliere all'ottima traduzione di Silvia Cosimini.
Arriva però un momento, nella lettura, in cui può capitare di sentirsi coinvolti nella solita storia di fantasmi, ormai fin troppo stantìa. Ed è qui che il lettore, con riconoscenza, scopre che le due narrazioni sono molto più legate, e che i legami sono tutt'altro che soprannaturali. Il Male gioca un ruolo determinante, un Male che emerge dal passato e che tocca tutti i protagonisti del libro. Un po' ironicamente, la chiave del mistero è... una fossa biologica. Ma non svelerò altro, perché il romanzo merita di essere letto.

Pur essendo, come detto, un ottimo esempio di lettura de paura, il finale (e intendo proprio  le ultime quindici righe) ci propone un tocco di horror anche eccessivo, e lascia alcune questioni irrisolte: qual è la natura di tante sparizioni? Crimine umano o evento ectoplasmatico? Io avrei preferito una risposta, ma questa sospensione potrebbe essere affascinante per altri lettori. Quello che è indubbio è che gli scandinavi riescono a sfruttare le asperità dei loro Paesi (e anche paesi con la "p" minuscola, come in questo caso) per creare ambientazioni suggestive ed inquietanti. Questa stessa storia perderebbe molto, se fosse ambientata nell'hinterland di Sacramento o Tallahassee, e non soltanto per l'uso degli elementi atmosferici.

Consigliato per qualche ora di svago... con brividi.