giovedì 29 marzo 2012

La prevalenza del mediocre

Disclaimer: questo post contiene affermazioni ed idee volutamente provocatorie. Ogni riferimento a cose, o a persone, realmente esistenti è puramente casuale. O no?

Signori e signore,
l'ultima moda è quella della cosiddetta meritocrazia. In ogni settore e ambito, i seguaci di questa moda pretendono a gran voce i migliori. Ebbene, intendo dimostrare che tale pretesa è non soltanto assurda, ma addirittura contraria ai principi più inviolabili della specie umana.

Partiamo da un'evidenza aritmetica: la nostra Terra è popolata da svariati miliardi di esseri umani. Per semplificare l'esposizione, possiamo distinguere tre categorie di individui: i peggiori, i mediocri, e i migliori. Questa terminologia è puramente accademica e convenzionale, scevra di ogni volontà offensiva. Come insegnano la statistica e la sociologia, è ragionevole ipotizzare che la distribuzione fra queste categorie abbia un profilo tendenzialmente gaussiano: in parole semplici, pochi individui sono peggiori o migliori, mentre la massa si colloca al centro, fra i mediocri. La ragionevolezza di tale distribuzione dovrebbe essere evidente anche ad un bambino: nella cerchia delle nostre frequentazioni, quanti sono i migliori e quanti i peggiori? A meno che voi non apparteniate ad un esclusivo circolo di menti eccelse, o  ad un meno esclusivo circolo di stupidi conclamati, dovrete convenire con me che la schiacciante maggioranza delle vostre amicizie è costituita da individui assolutamente mediocri, cioè dotati di capacità medie. Non c'è nulla di male in questa affermazione, ed anzi quasi tutti noi apparteniamo al novero dei medi.

Siamo allora costretti a dedurre che solo un governo (inteso qui in senso lato) dei mediocri può aspirare ad essere giusto ed equo. Addirittura, la democrazia appare legata indissolubilmente alla mediocrità: un governo dei migliori o dei peggiori sarebbe un governo dei pochi contro i molti, cioè un'evidente forma di oligarchia assoluta. L'unica ragione apparente per caldeggiare un governo i minoranza sociale è proprio il desiderio dei pochi di prevalere sui molti, considerati ovviamente una sorta di specie inferiore. Se in democrazia, come dev'essere, la maggioranza prevale, occorre dedurre la prevalenza del mediocre. A questo proposito, altri Autori hanno cercato di dimostrare che, nell'attuale società, vige la Prevalenza del Cretino. Io ritengo questa tesi viziata da un campione statistico insufficiente, giacché è banale che i cretini prevalgano in un insieme statistico composto da cretini. Tale osservazione non svilisce il cretinismo dei cretini, ma azzoppa ogni speranza di costituire una prova inconfutabile per la loro prevalenza.

Infine, e qui pervengo alla parte più nobile della mia tesi, vi invito a riflettere su un dato di fatto: la specie umana è, finora, l'unica ad aver sviluppato la capacità di aiutare gli individui deboli. Infatti, un governo dei migliori finirebbe ineluttabilmente per attuare vere politiche razziste contro i peggiori e forse anche contro i mediocri. La specie umana tornerebbe nei secoli oscuri del darwinismo selettivo e spietato. I bambini più deboli o malati sarebbero gettati da una rupe, e gli anziani meno acculturati sarebbero condannati ad una lenta agonia priva del conforto delle trasmissioni televisive culturali. Queste pulsioni miglioriste non sono estranee alla storia contemporanea: nel secolo XX, un bifolco imbianchino austriaco, corredato di ridicoli baffetti, pretese di migliorare la specie umana sbarazzandosi di quanti egli giudicava peggiori e mediocri. Non finì bene, come forse ricordiamo dagli studi scolastici. Riassumendo, la mia tesi è che solo la prevalenza del mediocre possa garantire l'evoluzione della solidarietà nella specie umana, e garantire un diffuso benessere per tutti gli individui.

Concludo con un monito. Quando sentite un individuo che strepita a favore della meritocrazia, e invoca l'epurazione di peggiori e mediocri, fatevi una semplice domanda: non sarà magari un imbianchino?

martedì 27 marzo 2012

Umanesimo

In questi giorni sto leggendo uno splendido libro:

Stoner, di John Edward Williams, edito da Fazi. Il libro racconta la vita di William Stoner, professore universitario di inglese nel Missouri di cento anni fa. Non l'ho ancora finito, quindi non posso esprimere giudizi complessivi. Posso solo dire che è una lettura consigliata a tutti i professori e ricercatori: è bello (e sconfortante) imparare che tutto il mondo è paese.

Leggendo questo libro, ho avuto le stesse sensazioni che avevo quand'ero studente liceale, e sognavo di diventare insegnante. Come forse ho già scritto in questo blog, la mia passione per la matematica è nata tardi, a partire dal terzo anno di liceo scientifico. Prima la odiavo, ne avevo una paura irrazionale e mi sentivo un perfetto idiota con i numeri. Ero, al contrario, un appassionato umanista: vivevo fra grammatiche e dizionari di latino, leggevo la letteratura italiana delle origini e immaginavo una carriera da studioso del Medioevo. Poi, e non so giudicare ancora se sia stata una scelta intelligente, ho privilegiato il rigore della matematica e delle sue teorie. Confesso però un periodico attacco di nostalgia per le versioni di Tacito e degli autori decadenti e cristiani, il cui latino mi affascinava per la grammatica decadente. Come quasi sempre accade, vent'anni fa ho promesso a me stesso di non dimenticare il mio lato umanistico, e puntualmente ho buttato tutto al vento.
In questi giorni, leggendo che William Stoner preparava i seminari sulla poesia rinascimentale inglese, sono tornato indietro nel tempo. Mi sono domandato se, in ultima analisi, lo studio delle lettere non dia più gioie e soddisfazioni dello studio delle scienze. Temo sia un'illusione, ma non è più appagante insegnare Filologia Romanza invece che Calcolo Differenziale? La trasformata di Fourier è veramente più bella della poesia di Guido Cavalcanti? Possiamo confrontare
S'i fossi foco arderei il mondo
con
Una funzione continua definita in uno spazio compatto possiede massimo e minimo assoluti ?
Certo, non dubito che l'insegnamento della storia letteraria del Seicento possa venire a noia alla stregua del calcolo matriciale. Ma una differenza, a mio giudizio profonda, c'è, ed è addirittura lapalissiana: lo scienziato duro studia le idee, ma dimentica spesso gli uomini (e le donne) che le hanno sviluppate. Lagrange, Weierstrass, Gauss sono nomi per sempre legati a teoremi importanti, ma per quasi tutti i matematici restano etichette vuote. Personalmente ignoro se questo o quel celebre matematico abbia avuto una vita piacevole o terribile, se sia vissuto negli agi o se sia morto di stenti. So che alcuni matematici sono morti nei campi di concentramento nazisti, ma queste storie restano sullo sfondo. Il matematico del terzo millennio deve pubblicare, o perire. Anzi, il matematico che dedica tempo alla storia dei matematici del passato è visto con un pizzico di compassione: evidentemente non è abbastanza bravo per dimostrare più teoremi.
Nel mio immaginario, lo studioso di lettere deve invece comprendere gli uomini (e le donne) insieme alle loro idee. O, forse, ancora più delle loro idee. Un romanzo, un poema, un sonetto non sono interessanti in sé (come un teorema); sono interessanti anche e soprattutto perché qualcuno li ha scritti, attingendo alle proprie emozioni ed alle proprie esperienze. Uno scrittore come Jean Giono è considerato ambiguo per una certa vicinanza alle ideologie fascisteggianti del secolo scorso, e i suoi romanzi sono analizzati in questo contesto. Nessuno invece penserebbe di giudicare un teorema alla luce delle scelte politiche del matematico che l'ha dimostrato.

A questo punto, vorrei sapere se le stesse sensazioni, mutatis mutandis, appartengano anche agli studiosi umanistici.






venerdì 23 marzo 2012

Errori ed orrori/2


  • Definire "di fondamentale importanza" qualunque teorema io abbia chiesto durante l'esame non servirà a nascondere errori e strafalcioni nell'enunciato o nella dimostrazione.

  • Citare ripetutamente "le dispense che ci ha dato" non migliora un esame disastroso. A meno che non vogliate farmi capire che le mie dispense fanno vagamente schifo.

  • Il teorema di De l'Hospital non afferma che "il limite delle funzioni è uguale al limite delle derivate". Proprio no.


Infine

  • L'esame non accerta le vostre capacità di memorizzare come pappagalli. Può capitare che la risposta ad una mia domanda non sia scritta in neretto nelle dispense, e perfino che dobbiate ragionare un po' prima di rispondere.


 

martedì 20 marzo 2012

Errori ed orrori comuni

A costo di sembrare un vecchio brontolone rimbambito, vorrei evidenziare alcuni tipici svarioni in cui gli studenti incorrono frequentemente. Troppo frequentemente.

  1. Una successione non è un insieme di numeri reali. In particolare, $latex [a,b]$ non è una successione. Una successione (di numeri reali) è una funzione, definita (almeno per semplicità) sull'insieme $latex \mathbb{N}$ dei numeri naturali!

  2. Il limite di funzione $latex \lim_{x \to x_0} f(x)$ non è sempre $latex f(x_0)$. A meno che voi non abbiate studiato a Brescia. Più in generale, bisogna definire i limiti, prima di cercare di calcolarli.

  3. La derivata non è il rapporto incrementale. Semmai è il limite del rapporto incrementale;  ma non è un limite qualsiasi del rapporto incrementale, per esempio l'orrendo $latex \lim_{h \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{h}$. Una funzione continua non è per forza derivabile, e soprattutto esistono funzioni che non sono affatto derivabili pur essendo continue.

  4. Data una fuzione $latex f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$, una primitiva di $latex f$ non è "il suo integrale indefinito". A meno che non sappiate costruire l'integrale indefinito senza usare la definizione di funzione primitiva, ovviamente. Fra tutte le primitive $latex F(\cdot) + C$ di una funzione $latex f$ assegnata, quella corrispondente a $latex C=0$ non è "la primitiva principale", terminologia inesistente fuori dalle aule della scuola superiore risorgimentale.

  5. La definizione di continuità nel punto $latex x_0$ non è $latex \lim_{x \to x_0-} f(x)=\lim_{x \to x_0+} f(x)=\lim_{x \to x_0} f(x)$.

  6. La definizione di $latex \lim_{x \to x_0} f(x)=+\infty$ non è "$latex f$ possiede un asintoto verticale".

  7. Nei corsi di Calculus compaiono due lettere greche: $latex \varepsilon$ e $latex \delta$. Non è difficile ricordarne i nomi, e nemmeno la grafia. In particolare, $latex \delta$ non si legge "sigma".

  8. Alla domanda "Quante primitive possiede una generica funzione?" non si risponde "Tante!"

  9. La definizione di "punto di massimo" per una funzione non è: "Quando la funzione cresce e poi decresce".

  10. Alla domanda "Mi disegni una funzione (reale di una variaible reale) costante" occorre rispondere con una certa prontezza. E, possibilmente, anche in modo corretto. In particolare, "costante" non è sinonimo di "continua". Ancora più in particolare, una funzione non è costante quando "in ogni punto assume un determinato valore, ben preciso". Questa è la definizione, un po' divulgativa, di funzione qualunque.

  11. Se, alla fine di un'interrogazione, non avete saputo: (a) che cosa sia una successione, (b) che cosa sia un limite di funzione, (c) che cosa sia il teorema di Weierstrass, e magari anche (d) perché per voi $latex \int_{-1}^1 \frac{dx}{x^2}$ è un integrale come gli altri, vi prego di non supplicarmi di farvi "una domanda in più perché volevo prendere 28".

sabato 17 marzo 2012

Cambiamenti

Tu credi di ritrovare le stesse cose e le stesse persone, e invece pam! Tutto cambia, tutti cambiano; anche noi, ma ci illudiamo che non sia così. A volte percepiamo i sintomi del cambiamento, a volte li vediamo e distogliamo lo sguardo. Qualunque sia la nostra reazione, l'unico dato di fatto, ineluttabile e spietato, è che nulla è immobile nel tempo.
Possiamo recuperare i ricordi, certo. Ma sono soltanto ricordi, e non saranno mai il presente o il futuro. Ciò che ieri ci ha fatto battere il cuore, ed essere felici, oggi è scivolato via sulle ali del tempo. Può capitare che gli stessi luoghi o le stesse persone oggi ci mettano malinconia e ci facciano soffrire. Ma, forse, ciò che fa male non è quello che è stato: è quello che poteva essere, e che noi siamo stati troppo lenti, o troppo stupidi, per afferrare.

lunedì 12 marzo 2012

Qui nessuno è fesso

La scienza delle relazioni interpersonali non è esatta e, soprattutto, è alquanto pericolosa. Ci sono situazioni che ti mettono il tarlo del dubbio direttamente nel cervello. Tu parli con una persona, e maturi la sensazione che ti stia prendendo per i fondelli. Problema: come reagire?
  1. Affermare con enfasi: "Lei mi sta prendendo in giro!"
  2. Valutare la possibilità che la sgradevole sensazione nasca solo dal proprio orgoglio, e conseguentemente mostrarsi calmi e pacati.

Tendenzialmente, la soluzione 2 è suggerita da: parenti, amiche, fidanzate e altre rappresentanti del sesso femminile. Prenti, amici e colleghi uomini suggeriscono la soluzione 1, allungata con indignazione q.b. e fumo dalle narici.

Nel caso 1, il rischio che corri è quello di apparire aggressivo e maleducato. Nel caso 2, il rischio è quello di apparire veramente fesso.



venerdì 9 marzo 2012

Didattica: scritto e orale

Sunto: qual è il rapporto più sano fra esame scritto ed esame orale? Considerazioni ed esperienze.

La mia attività didattica si svolge prevalentemente sul primo (ed unico) corso di matematica per allievi biotecnologi. Come tradizione (e forse anche delibera del CCD) vuole, gli esami del primo anno si articolano in due prove obbligatorie: quella scritta e quella orale. Ma qual è il rapporto ottimale (in un senso da precisare) fra queste due prove obbligatorie?

La domanda non è peregrina, come dimostra l'ampio spettro di opinioni che ho riscontrato mediante sondaggi informali fra i colleghi matematici. Schematizzando forse eccessivamente, le posizioni prevalenti sono due:

  1. l'esame orale segue quello scritto, anche in senso pratico. L'orale, essenzialmente, non intacca la valutazione pregressa dello scritto, e contribuisce al profilo dello studente. Il voto finale, più o meno, è la somma (pesata, se si preferisce) del voto dello scritto e del voto dell'orale.

  2. L'esame scritto e l'esame orale sono sostanzialmente compartimenti stagni. Il voto finale è una "media" (non necessariamente aritmetica) del voto dello scritto e di quello dell'orale.


Entrambe le possibilità sono diffuse fra i docenti italiani e stranieri, come una rapida ed informale ricerca in rete mostra. Riflettiamo sui due approcci, senza farci influenzare dal sentimentalismo o da considerazioni estranee. Nel primo caso, fatti salvi casi eccezionali, è praticamente impossibile che uno studente ampiamente sufficiente allo scritto sia respinto dopo l'orale. Se lo studente Mariolino ha preso 25/30 allo scritto, le possibilità di essere respinto all'orale sono quasi nulle. Magari il voto finale sarà 25, o 24, o 23, ma per scendere sotto la sufficienza Mariolino dovrebbe forse pugnalare il docente o rigargli la macchina. Nel secondo caso, Mariolino potrebbe fare un orale pessimo, diciamo da 10/30, e risultare complessivamente insufficiente.

Personalmente ho sempre seguito la prima filosofia. Insegnando matematica a studenti che la detestano e che probabilmente dimenticheranno tutto dopo una settimana, ho sempre pensato che fosse meglio valorizzare l'esame scritto. Dopotutto, un biotecnologo ha (forse) la necessità di apprendere qualche tecnica matematica per risolvere facili problemi scientifici, mentre l'esame orale solitamente misura la comprensione teorica e speculativa dell'allievo. Mi è sempre apparso piuttosto evidente che un allievo biotecnologo (o biologo, o naturalista) non capirebbe il senso di studiare teoremi e dimostrazioni fini e se stessi.

Ma allora perché ho usato i verbi al passato? Il punto è che, ultimamente, sto riscontrando un pericolo effetto "opportunistico" da parte di molte matricole: erano brave alle scuole superiori, risolvono più che dignitosamente gli esercizi standard di calcolo infinitesimale, e quindi strappano voti ampiamente sufficienti allo scritto. Poi si presentano all'orale e fanno scena quasi muta: se parto da 25, pensano, mi basta balbettare qualche risposta per portare a casa un voto da esibire ad amici e parenti. A che pro sudare sui teoremi, se so risolvere gli esercizi?

Da qualche giorno rifletto sull'opportunità di passare alla filosofia numero 2, ovviamente dal prossimo anno. Eppure non riesco a prendere una decisione: non esiterei se i miei allievi fossero matematici, fisici o ingegneri. Ma il mio è un corso di Calculus, non di Mathematical Analysis! Sarebbe didatticamente opportuno respingere gli studenti che sanno usare il teorema di De l'Hospital ma non ricordano le sottili ipotesi che comunque sono soddisfatte nel 99% dei problemi che magari incontraranno nella professione di biotecnologo? Posso allontanare uno studente che non ricorda i controesempi al teorema di Weierstrass per le funzioni conintue, se il 99% delle funzioni viste a lezione sono addirittura di classe $latex C^\infty$?

 

Accetto suggerimenti.

 

martedì 6 marzo 2012

Foto-fobia

Avvertenza: questo post contiene concetti potenzialmente inquietanti. Non dite che non vi ho avvertiti.

Ieri mi sono imbattuto in un simpatico (ma primitivo) sito internet dedicato al paese della Valganna in cui ho passato le estati di tutta la mia gioventù, Cunardo. Il sito è questo, è amatoriale e invaso dagli spot pubblicitari. Mi sono imbattuto in alcune fotografie, ad esempio queste:











Sono fotografie color seppia, vecchie di quasi un secolo. La bambina della prima foto è forse coetanea di mio nonno Federico, magari andavano a scuola insieme. Chissà che vita ha avuto, probabilmente ha attraversato due guerre mondiali, si sarà forse sposata e avrà partorito dei figli. I bambini dell'asilo avranno giocato mentre i fascisti uccidevano gli oppositori democratici, e forse si sono trovati su fronti opposti dopo il 25 aprile. Qualcuno avrà preso l'influenza spagnola e qualcuno sarà diventato ricco, altri saranno emigrati in America in cerca di fortuna.

È sempre affascinante guardare le vecchie fotografie, così come rivedere i film muti di Charlie Chaplin. Ma c'è anche un risvolto inquietante, perché gli uomini e le donne che erano davanti alla macchina fotografica nel 1913 sono tutte morte. È una banalità, ma è anche una delle mie paure. Non credo di temere che la fotografia contenga o rubi l'anima del soggetto; piuttosto temo di essere stato suggestionato da uno splendido film di qualche anno fa: The Others. Secondo Wikipedia, la trama del film di Amenabar è ispirata al racconto Il giro di vite di Henry James. Se è così, allora è un'interpretazione alquanto libera del testo di James. Non voglio parlare della trama, anche perché si tratta di una pellicola che vale la pena di gustare direttamente. Io, per esempio, l'ho guardata una delle ultime sere che ho passato a Pisa, prima di traslocare a Cantù nell'autunno del 2003. Ero in casa da solo, faceva piuttosto freddo ed era buio: l'atmosfera ideale per un film di fantasmi. Ad ogni modo, c'è una scena del film che non ho mai dimenticato: quella in cui Nicole Kidman scopre le fotografie dei domestici sotto il materasso. Piccolo particolare: i domestici sono tutti morti, nel senso che erano morti quando sono stati fotografati. Ho scoperto che queste fotografie appartengono ad una variante del Memento Mori, cioè all'iconografia che accosta vivi e morti. C'è una pagina di Wikipedia che documenta il fenomeno: se siete impressionabili, non aprite il link.

Non so perché, ma ho sempre odiato di essere fotografato. Non so se capita solo a me, ma guardare le persone in fotografia o riflesse nello specchio mi ha sempre messo i brividi. Da bambino avevo la sensazione che perfino mia mamma, allo specchio, fosse quasi un'estranea, e per qualche tempo pretendevo che lo schermo del televisore fosse coperto di notte perché avevo paura di vedere qualche fantasma riflesso. Da grande ho letto che la paura degli specchi è spesso causata da una constatazione talmente banale che il nostro cervello non se ne accorge: i nostri volti non sono affatto simmetrici rispetto ad un ideale asse verticale che passa per il naso. Al contrario, abbiamo volti asimmetrici, e il nostro cervello si abitua a vedere l'asimmetria direttamente. Quando il volto viene riflesso, l'asimmetria si rovescia e percepiamo una sensazione di estraneità che ci inquieta. Insomma, tutte le paure infantili hanno spiegazioni semplici; eppure qualche paura non ci abbandona mai, per qualcuno è la paura degli spazi chiusi e per altri la paura della folla. Io, se posso, evito di essere fotografato. Anche perché sono troppo brutto per essere immortalato!

giovedì 1 marzo 2012

La madeleine

Febbraio è stato un mese faticoso. Forse più nella mia percezione che nella realtà, ma in fondo quello che conta è proprio la percezione. Fatto sta che oggi, 1 marzo, ho deciso di rinunciare al consueto pendolarismo per rilassarmi almeno un giorno. Invece di sacrificare un'ora al viaggio verso Milano, sono uscito a fare una passeggiata.


Mentre camminavo, sono certo di aver sperimentato il sentimento della madeleine. Avete presente, vero? Marcel Proust, con la sua bella brioscia in mano (questa è una citazione molto raffinata che solo gli antichi lettori del settimanale satirico Cuore possono capire), era travolto dal ricordo del passato e ci propinava la lettura di una decina di tomi sulla ricerca del tempo perduto. Tranquilli, io scriverò solo questo post.


Che cosa stavo dicendo? Ah sì, la brioscia. Mentre camminavo per via Matteotti, la via dello struscio canturino, incrociavo tante mamme con i passeggini e qualche studente bigione. Nel tepore inaspettato di questa giornata di sole, ho ricordato le mattine della mia infanzia e della mia adolescenza, quando non c'era scuola e potevo godere dello stesso sole. Ho ricordato i negozi dove andavo, quelle sensazioni di piacere misto a sorpresa. La primavera  fa questi scherzi, che complessivamente sono piacevoli. Ma lasciano anche un senso di instabilità, perché ci spingono a riflettere su quello che volevamo essere e su quello che siamo diventati.


A volte mi domando perché ho voluto essere un matematico professionista. Non è un mestiere facile, e non nell'accezione vagamente ipocrita di chi confronta il lavoro "intellettuale" con quello manuale. Secondo me è un mestiere difficile perché richiede una fortissima disciplina. Anni fa ho conosciuto una persona molto in gamba, che avrebbe senz'altro potuto fare una carriera nella ricerca scientifica; eppure ha preferito un lavoro più regolare, con un cartellino da timbrare. Un matematico alterna spesso periodi relativamente tranquilli, dedicati alla ricerca di nuovi spunti e alla lettura di articoli scientifici, a periodi molto stressanti, fatti di ore davanti ad un foglio di carta pieno di formule che sembrano sempre sbagliate. È molto frequente che il matematico si addormenti sul divano dopo un pomeriggio di scervellamento, e al momento di andare a letto si ritrovi con un'idea che non può farsi sfuggire; ed allora si ricomincia, magari a mezzanotte, a verificare se l'idea è quella giusta.


Quando parlo con amici che hanno impieghi "normali", spesso sono trattato come un privilegiato. Certo, ho orari di lavoro flessibili e nessun boss che mi perseguita con le sue assurde richieste. Ma il fatto di portare con sé il proprio lavoro, giorno e notte, estate ed inverno, può essere un fardello scomodo.